As fundações do ajuste musical científico por Jonathan Tennenbaum.

Reproduzido da Revista FIDELIO, Vol .1 No.1, Inverno 1991-92 
A maioria das figuras e gráficos não está incluída online. Notas de rodapé estão na parte 
inferior da página. 

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Revolução na página da música

Este artigo é baseado em um discurso proferido pelo autor, diretor da Fundação Europeia de Energia de Fusão, em uma conferência do Instituto Schiller de abril de 1988 sobre sintonia científica realizada em Milão, Itália. Aparece também no "Manual on the Rudimentos of Tuning and Registration" do Instituto.

Eu quero demonstrar porque, do ponto de vista científico, nenhuma sintonia musical é aceitável, que não é baseada em um valor de tom para o meio C de 256Hz (ciclos por segundo), correspondendo a um valor não superior a 432Hz. Em vista do conhecimento científico atual, todas as outras afinações, incluindo A = 440, devem ser rejeitadas como inválidas e arbitrárias.

Aqueles em favor de constantemente levantar o tom tipicamente argumentam: "Que diferença faz o tom básico que escolhemos, contanto que as outras notas estejam adequadamente sintonizadas em relação a esse tom? Afinal, os tons musicais são apenas freqüências, eles são todos essencialmente Então, por que escolher um campo em vez de outro? " Para essas pessoas, os tons musicais são como papel-moeda, cujo valor pode ser inflado ou deflacionado ao sabor de quem estiver no poder.

Essa filosofia liberal de "campo de flutuação livre" deve seu poder e influência atuais em grande parte às teorias acústicas de Hermann Helmholtz, físico e fisiologista do século XIX, cujo livro de 1863, Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik ( A Teoria das Sensações de Tom como uma Fundação da Teoria da Música ) tornou-se o trabalho de referência padrão sobre as bases científicas da música, e permanece até hoje. Infelizmente, toda afirmação essencial no livro de Helmholtz provou ser falsa.

A falácia básica de Helmholtz - ainda ensinada na maioria dos conservatórios de música e universidades de hoje - era afirmar que a base científica da música se encontra nas propriedades de corpos inertes e vibrantes, como cordas, diapasões, tubos e membranas. Helmholtz definiu os tons musicais apenas como vibrações periódicas do ar. Os tons musicais fundamentais, afirmou ele, são ondas senoidais de várias frequências. Cada outro tom é meramente uma superposição de ondas senoidais somadas, chamadas "harmônicos" ou "harmônicos". Os intervalos musicais consoantes são determinados pelas propriedades das "séries de sobretons" como razões simples de números inteiros de frequências. Argumentando a partir desse ponto de vista, Helmholtz exigiu que os músicos desistissem do bom humor e voltassem a um "ajuste natural" das proporções de números inteiros;

Helmholtz baseou sua teoria da audição humana nas mesmas suposições falaciosas. Ele afirmou que o ouvido funciona como um ressonador passivo, analisando cada tom em seus harmônicos por meio de um sistema de minúsculos corpos ressonantes. Além disso, ele insistiu que as tonalidades musicais são todas essencialmente idênticas, e que não faz diferença qual o tom fundamental escolhido, exceto como uma convenção arbitrária ou hábito.

Teoria de Helmholtz: linear e errada

Toda a teoria de Helmholtz equivale ao que hoje chamamos na física de uma teoria "escalar", "linear" ou, na melhor das hipóteses, "quase linear". Assim, Helmholtz assumiu que todas as magnitudes físicas, incluindo tons musicais, podem pelo menos ser implicitamente medidas e representadas da mesma maneira que comprimentos ao longo de uma linha reta. Mas sabemos que todo aspecto importante da música, da voz humana, da mente humana e do universo como um todo é caracteristicamente não-linear. Toda teoria física ou estética baseada na hipótese de apenas magnitudes lineares ou escalares está fadada a ser falsa.

Uma ilustração simples deve ajudar a esclarecer esse ponto. Compare a medida dos comprimentos em uma linha reta com a dos arcos na circunferência de um círculo. Uma linha reta não tem medida intrínseca; Antes que possamos medir o comprimento, devemos primeiro escolher alguma unidade, algum intervalo com o qual comparar um determinado segmento. A escolha da unidade de medida, no entanto, é puramente arbitrária.

O círculo, pelo contrário, possui, por sua própria natureza, uma medida intrínseca e absoluta , isto é, um ciclo completo de rotação. Cada arco tem um valor absoluto como um ângulo, e as auto-divisões regulares do círculo definem certos ângulos e arcos específicos de maneira legal (por exemplo, um ângulo reto ou o ângulo de 120º subtendido ao lado de um triângulo equilátero inscrito no círculo).

Assim como o processo de rotação, que cria o círculo, impõe uma métrica absoluta sobre o círculo, também o processo de criação de nosso universo determina um valor absoluto para cada existência no universo, incluindo tons musicais. Helmholtz se recusou a reconhecer o fato de que nosso universo possui um tipo especial de curvatura, de tal forma que todas as magnitudes têm valores absolutos, geometricamente determinados. É por isso que as teorias de Helmholtz são sistematicamente erradas, não meramente erradas por acidente ou por erros isolados. Medidas retas são intrinsecamente falaciosas em nosso universo.

Por exemplo, o som não é uma vibração do ar. Uma onda sonora, sabemos hoje, é um processo eletromagnético que envolve a rápida montagem e desmontagem de configurações geométricas de moléculas. Na física moderna, esse tipo de processo de auto-organização é conhecido como "soliton". Embora muito mais trabalho experimental detalhado precise ser feito, nós sabemos em princípio que freqüências diferentes de solitons coerentes correspondem a geometrias distintas no nível de organização microscópico ou quântico do processo. Isso já foi indicado pelo trabalho do contemporâneo de Helmholtz, Bernhard Riemann, que refutou a maioria das doutrinas acústicas de Helmholtz em seu artigo de 1859 sobre ondas de choque acústico. ¹

A teoria da audição de Helmholtz também se mostrou falaciosa. Os minúsculos ressonadores que ele postulou não existem. O ouvido humano é intrinsecamente não-linear em sua função, gerando singularidades em ângulos específicos na câmara espiral, correspondendo ao tom percebido. Este é um processo ativo, semelhante à amplificação do laser, não apenas à ressonância passiva. Na verdade, sabemos que o próprio ouvido gera tons.

Além disso, como todo músico competente sabe, os simples sinais sinusoidais produzidos por circuitos eletrônicos (como o órgão eletrônico de Hammond) não constituem tons musicais. Antes de Helmholtz, era geralmente entendido que a voz humana e , mais especificamente, a voz do bel canto , devidamente treinada , é o padrão de todo o tom musical. Historicamente, todos os instrumentos musicais foram projetados e desenvolvidos para imitar a voz humana o mais próximo possível de suas características não-lineares.

A voz humana do bel canto é para o som o que um laser é para a luz: a voz é um laser acústico, gerando a densidade máxima de singularidades eletromagnéticas por unidade de ação. É essa propriedade que dá à voz do bel canto sua característica especial de penetração, mas também a determina como singularmente bela e exclusivamente musical. Em contrapartida, os instrumentos eletrônicos tipicamente produzem tons de onda senoidal de Helmholtz, que são feios, "mortos" e não musicais exatamente na medida em que são incoerentes e ineficientes como processos eletromagnéticos.

O ajuste é baseado na voz

A voz humana define a base para a sintonização musical e, de fato, para toda a música. Isso foi claramente entendido muito antes de Helmholtz, pela corrente científica associada a Platão e Santo Agostinho, e incluindo Nicolau de Cusa, Leonardo da Vinci e seu professor Luca Pacioli, e Johannes Kepler. De fato, o livro de Helmholtz foi um ataque direto ao método de Leonardo da Vinci.

Figuras 1-2      Ver ampliação      Ver super-alargamento

Se as teorias de Helmholtz estão erradas, e as de Platão através de Kepler e Riemann foram provadas corretas - pelo menos até onde estas ocorreram - então que conclusões se seguem para a determinação do tom musical hoje? Vamos resumir brevemente as razões convincentes para C = 256 Hz como a única sintonia científica aceitável, que emergiu de uma revisão do trabalho clássico de Kepler et al. bem como pesquisa científica moderna.

A voz humana, o instrumento básico na música, também é um processo vivo. Leonardo e Luca Pacioli demonstraram que todos os processos vivos são caracterizados por uma geometria interna muito específica, cuja manifestação visível mais direta é a proporção morfológica da Seção Áurea. Na geometria elementar, a Seção Dourada surge como a razão entre o lado e a diagonal de um pentágono regular (veja a Figura 1). A Seção Áurea naturalmente forma o que chamamos de uma série geométrica auto-similar - um processo de crescimento no qual cada estágio forma uma proporção da Seção Áurea com a precedente. Já antes de Leonardo da Vinci, Leonardo Pisano (também chamado Fibonacci) demonstrou que o crescimento das populações de organismos vivos sempre segue uma série derivada da Seção Áurea. Em extensos estudos morfológicos,todas as formas vivas. Por exemplo, a Figura 2 ilustra as proporções mais simples da Seção Áurea do corpo humano.

Como a música é o produto da voz humana e da mente humana - isto é, dos processos vivos -, portanto, tudo na música deve ser coerente com a Seção Áurea. Esse foi enfaticamente o caso do desenvolvimento da música ocidental desde o renascimento italiano até Bach, Mozart e Beethoven.

O sistema bem temperado clássico é baseado na seção áurea. Isto é muito claramente ilustrado com as seguintes duas séries de tons, cujo significado musical deve ser evidente para qualquer músico: C - E - plano - G - C e C - E - F - agudo - G. Na primeira série, as diferenças das frequências entre os sucessivos tons formam uma série auto-similar na proporção da Seção Áurea. As diferenças de frequência da segunda série diminuem de acordo com a proporção da seção áurea (veja a Figura 3).

A seção áurea

Para entender melhor o sistema bem-humorado, devemos primeiro examinar a razão pela qual certas proporções específicas, especialmente a Seção Áurea, predominam em nosso universo, enquanto outras não.

Figura 3    Exibir ampliação      Exibir super-ampliação

Não há nada de misterioso ou místico na aparência da Seção Áurea como um "valor absoluto" para os processos vivos. O próprio espaço - isto é, o espaço visual em que percebemos as coisas - tem uma "forma" específica coerente com a Seção Áurea. Pois o espaço não existe como uma entidade abstrata independente do universo físico, mas é ela mesma criada. A geometria do espaço reflete a curvatura característica subjacente ao processo de geração do universo como um todo. Sabemos que o espaço tem uma forma específica, porque apenas cinco tipos de sólidos regulares podem ser construídos no espaço: o tetraedro, o cubo, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro (ver Figura 4).

Esses cinco sólidos são características exclusivamente determinadas do espaço. Eles são valores absolutos para toda a física, biologia e música. De fato, Luca Pacioli enfatizou que todos os sólidos são derivados de um único, o dodecaedro, e que este último é baseado exclusivamente na Seção Áurea. Assim, a Seção Áurea é a principal característica visual do processo de criação do universo.

Em seu Mysterium Cosmographicum, Kepler forneceu mais uma prova decisiva para o método de Leonardo e Pacioli. Ele demonstrou que a morfologia do sistema solar, incluindo as proporções das órbitas planetárias, é derivada dos cinco sólidos regulares e da seção áurea. A Figura 5 mostra a famosa construção das órbitas planetárias de Kepler através de uma série aninhada de esferas concêntricas, cujo espaçamento é determinado por sólidos regulares inscritos. Portanto, o sistema solar tem as mesmas características morfológicas que os organismos vivos.

Kepler localizou a razão subjacente para essas características morfológicas no processo de geração do próprio universo, e isso ele tentou identificar com a ajuda do que é chamado de teorema isoperimétrico. Este teorema afirma que entre todas as curvas fechadas que possuem um dado parâmetro, o círculo é a curva única que inclui a maior área. A ação circular é a forma de ação maximamente eficiente no espaço visível e, portanto, é coerente com o tom musical do bel canto e o feixe gerado por um laser. Kepler argumentou que se a ação circular reflete unicamente o processo criativo do universo, então a forma de tudo o que existe - de átomos e moléculas, do sistema solar e do sistema musical - deve ser construível usando apenas ação circular.

Por esse procedimento, chamado "geometria sintética", geramos a partir do círculo, dobrando-o sobre si mesmo (ou seja, a ação circular aplicada a si mesmo), uma linha reta, o diâmetro. Ao dobrar novamente, obtemos um ponto, o centro do círculo, como a interseção de dois diâmetros, como na Figura 6. Isso, por si só, cria para nós os "elementos" básicos da geometria plana. Além disso, girando um círculo, obtemos a esfera (veja a Figura 7).

Outras construções, usando somente a ação circular, geram os polígonos regulares - o triângulo equilátero, o quadrado e o pentágono - que formam as faces dos cinco sólidos regulares. Destes polígonos exclusivamente determinados, Kepler derivou os intervalos musicais fundamentais do quinto, quarto e maior terço, sem qualquer referência a sobretons. Esses polígonos incorporam o princípio da autodivisão da ação circular por 3, 4 e 5. A oitava, ou divisão por 2, já obtivemos como o primeiro resultado de dobrar o círculo contra si mesmo. Da divisão por 2, 3, 4 e 5 obtemos, seguindo Kepler, os seguintes valores para os intervalos musicais básicos: oitava, 1: 2, quinto, 2: 3, quarto, 3: 4, terceiro maior, 4: 5 .

A divisão por sete é inválida, argumentou Kepler, porque o heptágono não é construtível a partir da ação circular sozinho, nem ocorre em qualquer sólido regular. Como as relações musicais de Kepler são singularmente coerentes com os sólidos regulares, elas são singularmente coerentes com a Seção Áurea subjacente a esses sólidos.

Kepler passou a demonstrar que as velocidades angulares dos planetas à medida que se movem em órbitas elípticas em torno do Sol são elas mesmas proporcionadas de acordo com as mesmas proporções dos intervalos musicais fundamentais (ver Tabela I). Desde o tempo de Kepler, relações semelhantes foram demonstradas no sistema de luas de vários planetas e, provisoriamente, até mesmo no movimento de galáxias espirais.

Figuras 4-7 , no sentido horário a partir da parte superior esquerda      Ver ampliação      Ver super-ampliação

C = 256 como "intervalo de Kepler"

C = 256 tem um valor astronômico singularmente definido, como um intervalo de Kepler no sistema solar. O período de um ciclo de C = 256 ( 1/256 de segundo) pode ser construído da seguinte forma. Tome o período de uma rotação da Terra. Divida este período por 24 (= 2 × 3 × 4), para obter uma hora. Divida isso por 60 (= 3 × 4 × 5) para obter um minuto e novamente por 60 para obter um segundo. Por fim, divida esse segundo por 256 (= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2). Essas divisões são todas as divisões keplerianas, derivadas apenas da ação circular. É fácil verificar, seguindo a série indicada de divisões, que a rotação da Terra é um "G", vinte e quatro oitavas abaixo de C = 256. Similarmente, C = 256 tem um valor determinado em termos do sistema completo de movimentos planetários.

Em contraste, A = 440 é um valor puramente arbitrário, sem justificativa físico-geométrica. A = 440 é uma sintonia insana no sentido rigoroso de que não tem relação coerente com o universo, com a realidade.

Hoje podemos acrescentar alguns pontos essenciais a isso. A solução de Kepler foi absolutamente rigorosa, até onde foi; no entanto, a ação circular é apenas uma representação incompleta da ação criativa no universo. O próximo grande passo foi dado por Carl Friedrich Gauss no início do século XIX. Gauss introduziu a ação espiral cônica, em vez da mera ação circular, como base para a geometria sintética. A ação espiral combina o princípio isoperimétrico do círculo com o princípio do crescimento expresso pela Seção Áurea.

Vamos demonstrar a ação espiral cônica na voz do bel canto . Faça um soprano cantar uma escala para cima, começando no meio C (= 256). À medida que a frequência aumenta, aumenta também a intensidade do som produzido. O termo mais preciso para essa intensidade é "densidade de fluxo de energia". Mas esse aumento não é apenas uma extensão linear, não apenas um aumento na magnitude escalar. Como nosso cantor canta para cima, dois eventos importantes ocorrem. Primeiro, ela deve fazer uma mudança de registro, em F-sharp, para manter a forma "isoperimétrica", de ação mínima, do tom do bel canto . Voltaremos à mudança de registro em um momento. O segundo evento ocorre na chegada na oitava, C = 512. Nós ouvimos muito claramente, que um ciclo de açãofoi concluída, como uma rotação de 360 ​​°. Isso prova que existe um componente rotacional de ação para aumentar a frequência ou a densidade do fluxo de energia. Mais uma vez, a ação direta de Helmholtzian não existe.

Figura 8      Ver ampliação      Ver super-alargamento

A verdadeira geometria da ação do cantor é, portanto, mais simplesmente representada pela ação espiral para cima em um cone. Na Figura 8, o eixo do cone representa a frequência. Cada seção transversal circular do cone representa um tom musical de bel canto . A espiral faz uma rotação completa ao passar de C = 256 para C = 512, e mais um ciclo a traria de C = 512 para a próxima oitava mais alta, C = 1024. Assim, o intervalo de uma oitava corresponde a um ciclo completo de 360 ​​° de ação espiral cônica.

Figura 9     Ver ampliação  Ver super-alargamento

Não apenas a oitava, mas todos os intervalos musicais, correspondem a ângulos específicos da ação em espiral cônica. Isto é mais claramente visto se projetarmos nossa espiral cônica em um plano perpendicular ao eixo (veja a Figura 9). Se dividirmos uma rotação total de 360 ​​° em doze ângulos iguais, então cada um desses deslocamentos (30 °) corresponde a um intervalo semitom em frequência. Os comprimentos radiais definidos pela espiral nos doze ângulos indicados são exatamente proporcionais às frequências da escala musical de mesma intensidade. O intervalo de um quinto corresponde a rotação através de 7/12 do círculo, ou 210 °. O intervalo de um terço menor corresponde a um ângulo reto e assim por diante.

(O sistema de igual temperamento é apenas uma aproximação de um sistema rigoroso e bem temperado, cujos detalhes ainda não foram totalmente elaborados. No entanto, a construção indicada identifica as regiões de freqüência e deslocamentos angulares dentro dos quais os valores bem temperados devem ser definidos. )

Mais importante, o ponto médio do ciclo completo começando em C, é F-sharp, o quinto diminuído de C, ou o intervalo antes conhecido como "intervalo do diabo". Em termos de proporção geométrica, esse F-sharp está localizado como a média geométrica de C = 256 e sua oitava, C = 512.

Figura 10     Ver ampliação      Ver super-alargamento

Se realizarmos construções de geometria sintética com ação em espiral cônica, assim como fez Kepler com ação circular, descobrimos coisas maravilhosas. Por exemplo, construa a característica do volume cônico delimitado pelos círculos em C = 256 e C = 512, cortando o cone diagonalmente através desses dois círculos. O resultado é uma elipse. Projete esta elipse no plano. Os principais parâmetros da elipse do plano resultante definem exatamente as razões de frequência para os pontos de divisão mais importantes da oitava (veja a Figura 10):

C = 256 corresponde ao periélio da elipse C = 512 corresponde ao afélio F corresponde ao semi-latus reto F-afiado corresponde ao semi-menor eixo G corresponde ao semi-maior eixo

Ao mesmo tempo, F, F-sharp e G correspondem às médias harmônica, geométrica e aritmética, respectivamente, da oitava. Esses três meios formaram a base das teorias gregas clássicas de arquitetura, perspectiva e música. As mesmas notas F, F-sharp e G marcam a divisão principal da escala C-major básica. Essa escala consiste em dois tetracordes congruentes: C - D - E - F e G - A - B - C. O tom divisor é F-sharp.

Significado físico da mudança de registro

Vamos agora retornar ao nosso soprano. Ela faz a primeira mudança de registro, do primeiro para o segundo registro, exatamente neste ponto de divisão. O primeiro tetracorde, C - D - E - F, é cantado no primeiro registro, enquanto G - A - B - C são cantados no segundo registro. A mudança de registro divide a escala exatamente na média geométrica ou no ponto médio no ciclo da ação espiral cônica. O mesmo processo se repete na oitava seguinte, onde a mudança do segundo para o terceiro registro da soprano vem mais uma vez em F-sharp, a média geométrica.

O deslocamento do bel canto é um evento físico de importância fundamental, e não meramente uma questão técnica para a voz. Em termos físicos, a mudança de registro constitui uma singularidade, uma mudança de fase não linear comparável à transformação do gelo em água ou água em vapor. Uma comparação ainda melhor é com o processo biológico de divisão celular (mitose). Em todo caso, vemos que em C = 256, a região dessa singularidade coincide com a principal divisão geométrica da ação espiral cônica. (Aqui tomamos a voz da soprano, por razões musicais e de desenvolvimento, como a referência fundamental para a voz humana em geral.)

Nosso sistema solar também faz uma "mudança de registro". Há muito se observou que os planetas internos (Mercúrio, Vênus, Terra e Marte) compartilham características tão comuns quanto o tamanho relativamente pequeno, a superfície sólida silico-metálica, poucas luas e nenhum anel. Os planetas exteriores (Júpiter, Saturno, Urano e Netuno) compartilham um segundo conjunto de características contrastantes: tamanho grande, composição gasosa, muitas luas e anéis. O ponto de divisão entre esses dois "registros" nitidamente contrastantes é o cinturão de asteróides, um sistema em forma de anel de dezenas de milhares de corpos fragmentários que se acredita terem surgido de um planeta explodido.

Figura 11     Ver ampliação  Ver super-alargamento

Tabela 1 Ver ampliação Ver super-ampliação

É fácil verificar que o deslocamento do registrador do sistema solar cai exatamente na mesma posição geométrica, como o deslocamento da voz da soprano no ajuste C = 256 apropriado. Se começarmos na camada externa do sol, e construirmos uma espiral auto-similar (logarítmica) fazendo exatamente uma rotação passando dessa camada para a órbita do planeta mais interior, Mercúrio, então a continuação dessa espiral fará exatamente um ciclo completo passando de Mercúrio para a região definida pelas órbitas sobrepostas de Netuno e Plutão (veja a Figura 11). O ponto médio ou meio geométrico vem exatamente no limite externo do cinturão de asteróides. Mais precisamente, se compararmos a espiral planetária com nossa simples derivação em espiral do sistema de igual temperamento, deixando o intervalo de Mercúrio para Netuno-Plutão corresponder à oitava C-C, então as órbitas planetárias correspondem exatamente aos deslocamentos angulares dos principais passos da escala. O cinturão de asteróides ocupa exatamente a posição angular correspondente ao intervalo entre F e F-sharp; esta região é onde o soprano faz o shift do registrador, em C = 256 tuning. Assim, a completa coerência obtém, com essa sintonia, entre a voz humana, o sistema solar, o sistema musical e a geometria sintética da ação espiral cônica.²

Figura 12     Ver ampliação      Ver super-alargamento

A Figura 12 ilustra o que acontece se a sintonia é arbitrariamente aumentada, de C = 256 (correspondendo a A entre 427Hz e 432Hz) para, por exemplo, A = 449. Os turnos de registro da soprano (em aproximadamente 350Hz e 700Hz) estão, na sintonia mais alta, entre E e F, ao invés de entre F e F-sharp. Isso divide a oitava no lugar errado, destrói a geometria do sistema musical, destrói o acordo entre a música e as leis do universo e, finalmente, destrói a própria voz humana.

Se alterássemos arbitrariamente a "sintonização" do sistema solar de maneira semelhante, ele explodiria e se desintegraria! Deus não comete erros: nosso sistema solar funciona muito bem com a sua afinação adequada, que é singularmente coerente com C = 256. Este, portanto, é o único ajuste científico.

Notas

1. Bernhard Riemann, "Über die Fortpflanzung Flachher Luftschwingungen von endlicher Weite", em Gesammelte mathematische Werke, ed. H. Weber (Leipzig, 1876), pp. 145-164. Tradução inglesa: "Na Propagação de Ondas Aéreas de Amplitude Finita", International Journal of Fusion Energy (1980), vol. 2, n º 3.

2. Trabalhos recentes do falecido Dr. Robert Moon e associados estenderam essa coerência ao "microcosmo" da física subatômica.